三角函数的极限和导数

三角函数的极限

小数的情况

${\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}} = 1$

$\lim_{x \to 0} cosx = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{tanx}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x} = 0$

大数的情况

考虑极限$\lim_{x \to \infty}$

对于任意的x $-1 <= sinx <=1$ $-1 <=cosx <= 1$

应用三明治定理 $\lim_{x \to \infty} \frac{sinx}{x} = 0$

其他情况

考虑极限$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}$
这次的三角函数是余弦, 且要在 π/2 的附近求值. 这既不是小数的情况也不是大数的情况, 因此很明显, 之前的情况都不适用.面对 x → a 的极限, 而a != 0 时, 有一个很好的一般原则, 那就是用 t = x − a作替换, 将问题转化为 t→0

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}$

$\lim_{t \to 0}\frac{cos(t+\frac{\pi}{2})}{t}$

$cos(\frac{\pi}{2}+t) = sin(-t) = -sint$

$\lim_{t \to 0}\frac{-sint}{t} = -1$

三角函数的导数

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}sinx = cosx$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}cosx = -sinx$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}tanx = (secx)^2$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}secx = secxtanx$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}cscx = -cscxcotx$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}cotx = -(cscx)^2$