连续性和可导性

连续性

我们先从一个函数是连续的, 这到底意味着什么开始. 正如我上面所说, 直觉上, 可以一笔画出连续函数的图像.

在一点处的连续

如果f(x)在a点连续,则必须满足以下三个条件:

• 双侧极限${\lim_{x \to a} f(x)}$存在并且是有限的
• 函数在点a处有定义,$f(a)$存在并且是有限的
• 以上两个量相等,即: ${\lim_{x \to a} f(x) = f(x)}$

在一个区间上连续

函数f在[a, b] 上连续,需满足以下三个条件:

• f在(a,b)的每一点都连续
• 函数f在x = a处右连续,即 ${\lim_{x \to a^+} f(x)} = f(a)$
• 函数f在x = b处左连续,即 ${\lim_{x \to b^-} f(x)} = f(b)$

★介值定理

$如果f(x)在[a, b]上连续, 并且f(a) < 0且f(b) > 0,那么在区间(a, b) 上至少有一点 c, 使得 f(c) = 0. 代之以 f(a) > 0 且 f(b) < 0, 同样成立.$

★最大值与最小值定理

如果f(x)在[a, b]上连续, 那么f(x)在[a, b]上至少有一个最大值和一个最小值.

求解微分常用技巧

使用定义求导

根据导数的定义:
$f’(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$例如:对于 f(x) = \frac{1}{x}$

$f’(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$

$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}$

函数的常数倍

处理一个函数的常数倍时,只需要用常数乘以该函数的导数就可以了.

$\frac{d}{dx}Cf(x)=Cf’(x)$

函数和与函数差

对函数和与函数差求导,需要对每一部分求导然后再相加或者相减.

$\frac{d}{dx}(f(x) + g(x))=f’(x)+g’(x)$

乘积法则

$乘积法则(版本一):如果h(x)=f(x)g(x)那么 h’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)$

$乘积法则(版本二):如果y=uv, 则 \frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

商法则

$商法则(版本一):如果h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},那么h’(x)=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}{g(x)^2}$

$商法则(版本二):如果y=\frac{u}{v},那么\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

链式求导法则

$链式求导法则(版本一):如果h(x)=f(g(x)),那么h’(x)=f’(g(x))g’(x)$

$链式求导法则(版本二):如果y是u的函数,并且u是x的函数,那么\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

切线方程

• 求斜率:通过导函数并带入给定的x值,求x点的斜率m
• 求直线上的一个点:通过将给定的x值带入原始函数本身得到y0值得到(x0, y0)
• 使用点斜式 $y-y0=m(x-x0)$

导数伪装的极限

考虑求解以下极限
$\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{32+h}-2}{h}$

它和以下公式非常相似:

$f’(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$假设f(x)=\sqrt[5]{x},则f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{x+h}-\sqrt[5]{x}}{h}=\frac{1}{5}x^{\frac{-4}{5}}$
$设x = 32 = 2^5$

$由此可知问题可以转换为函数f(x)=\sqrt[5]{x}在x = 32时的导数即 \frac{1}{5}32^{\frac{-4}{5}}$

隐函数求导

考虑方程$x^2 + y^2 = 4$,求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$,对等号两边同时添加一个$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$,
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{(x^2 + y^2)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{4}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x^2} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{y^2} = 0$

$2x +2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$

注:这一步应用链式求导法则

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$

隐函数求导法则:

• 在原始方程中, 对一切求导并使用链式求导法则、乘积法则以及商法则进行化简
• 如果想要求 dy/dx, 可重新整理并作除法来求解 dy/dx; 不过如果想要求的是斜率或求曲线一个特定点上的切线方程, 可先代入 x 和 y的已知值, 接着重新整理并求 dy/dx, 然后如果需要的话, 使用点斜式来求切线方程

隐函数求二阶导

求导两次可以得到二阶导.例如,如果$2y+siny = \frac{x^2}{\pi}+1$,那么该曲线上点(π, π/2)处的$\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}$的值是什么呢？再一次地, 你应该先通过代入 x 和 y 的值, 看看方程是否成立来检验该点是否位于曲线上. 现在, 如果你想要求导两次, 必须先从求导一次开始! 使用链式求导法则来处理$sin(y)$这一项, 你应该会得到

① $2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + cosy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\pi}2x$

然后进行二次求导.如下:
② $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(cosy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\pi}2x)$

根据乘积法则和链式求导法则可推出:
③ $2\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}-sin(y)(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}^2) + cos(y)\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}=\frac{2}{\pi}$

根据式①带入(π, π/2)得到$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$.将其带入二阶导方程得知$\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}$